小乐数学科普：2025AMS莫尔研究论文奖作者之一Seán Keel肖恩·基尔关于该获奖论文的背后介绍

译者注：

上个月，Gross、Hacking、Keel、Kontsevich四人团队（简称GHKK）获得2025年AMS美国数学会E.H.莫尔（Moore）研究论文奖。本文是论文作者之一Seán Keel（肖恩·基尔）对该合作研究的背后介绍。另请参阅：

关于作者：

肖恩·基尔（Seán Keel）是一位代数几何学家，特别关注双有理几何、模空间和镜像对称。

除了数学之外 [参阅文末icea链接]，他还写过一部剑与魔法奇幻小说、大量短篇小说和诗歌。他与他的家庭乐队Bill the Pony（比尔小马）制作了三张民谣/爵士唱片，以及一张“超级简单的民谣乡村音乐”专辑。

作者：Seán Keel（德克萨斯大学奥斯汀分校）2024-12-20

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-1-20

K3曲面

图源：西蒙斯基金会

多年来，我一直与保罗·哈金（Paul Hacking）一起尝试寻找K3曲面模空间的典范环形压缩，遵循一个模糊但持久的想法，即K3曲面类似于复曲面，但用球面代替了晶格多面体。与此相关的球面已经出现在康采维奇（Kontsevich）和索贝尔曼（Soibelman）2004年一篇令人惊叹的论文中 https://link.springer.com/chapter/10.1007/0-8176-4467-9_9 ，我正在研究该论文，但没有太多的理解。

2007年，我第一次访问IHES快结束时，我第一次从马克·格罗斯（Mark Gross，他也处在访问期间）那里听说了相关的、对我来说更容易理解的格罗斯（Gross）和西伯特（Siebert）的想法 https://annals.math.princeton.edu/2011/174-3/p01 。保罗和我开始与马克一起工作，我们对模空间（moduli space）的兴趣逐渐被一些更基本和基础的东西所取代，从那时起，它就占据了我的思考：为了让我们想做的事情发挥作用，卡拉比-丘（以及它们的更简单的开的表亲，log CY）接受了阿贝尔簇上的 theta 函数（或其开的表亲，代数环面的单项式）的广泛推广。大约在2012年，我们正式确定了这个猜想。我受到马克西姆的鼓励，他非常热情地接受了这个想法，也受到了扬·索贝尔曼（Yan Soibelman）的鼓励，他首先向我解释了从马克西姆的同调镜像对称猜想的角度来看，这是极其自然的。

几年后，冈察洛夫在IHES进行了一次短暂访问，并打算就丛簇函数的典范基发表他与福克的联合猜想和结果。我从未听说过丛簇（cluster variety），但典范基（canonical basis）正是我们所猜测的，我期待着冈察洛夫的讲座。就在它开始之前，马克西姆像往常一样来到我的办公室，展示了他那边一些有趣的事情。我问他不想去听讲座吗，他说不想去，因为他已经听过了。所以我留在办公室（不会离开马克西姆）并聆听（可能很少理解）他想向我展示的任何内容。

几个月后，我看到了福克和冈察洛夫的预印本 https://link.springer.com/article/10.1007/s10240-006-0039-4 ，并很快意识到他们对丛簇函数的猜想基础是我们对 log CY 典范 theta 函数猜想的一个非常特殊的情况。令人兴奋的是，福克和冈察洛夫的猜想（以及我们的猜想）有着令人惊叹的潜在应用。我立即开始向马克询问丛簇的问题——我真的很想在这种特殊情况下证明我们的猜想。马克过去（现在仍然）非常忙于与西伯特合作的一个雄心勃勃的项目（所谓的格罗斯-西伯特Gross-Siebert计划），因此摒弃了我，几乎是他以前做过的最粗鲁的事情。

但也许一年后，马克西姆在巴黎做了一系列讲座，马克也参加了，在其中一次讲座中他提出了将镜像对称性与丛簇世界中主要的开放猜想联系起来的想法——这些包括福明-泽列文斯基（Fomin-Zelevinski） https://www.jstor.org/stable/827129 以及福克-冈察洛夫（Fock-Goncharov） http://www.numdam.org/item/ASENS_2009_4_42_6_865_0/ 的猜想。这引起了马克的兴趣，我们和保罗一起认真研究了这些问题，这实际上是我们试图在更大的普遍意义上所做的一个近乎完美的简单案例。

在很短的时间内，我们就能够证明所有主要猜想，并且我同意在那一年马克西姆的迈阿密镜面对称会议上就我们的结果进行一系列讲座。有一个基本猜想我们还没有证明——所谓的洛朗现象（Laurent phenomenon）的正性。

在迈阿密，我意识到我们的工作实际上存在空隙。对于我们的结果，我们实际上需要这种正性。我知道马克西姆已经考虑过了，所以我问他。他说他不知道如何证明这一点，但实验证据让他相信这绝对是真的。我记得我和马克西姆、索贝尔曼、冈察洛夫、卡普拉诺夫（Kapranov）一起吃晚饭——马克不在场，因为他正在准备第二天的演讲。我向马克西姆建议我们在这种正性上共同努力，他同意了。我很高兴能与这些大咖共进晚餐，并与马克西姆进行正式合作。

第二天早上，我遇到了马克，告诉他这个安排。他开始大笑，他非常兴奋，因为那天晚上他已经想出了如何证明必需的正性。我们继续写论文。正如马克西姆会告诉你的那样，他与这件事几乎没有任何关系。但肯定的是，将他的名字写在上面绝对具有极好的宣传效果。

格罗斯和西伯特的组合小工具（所谓的折线）在我们的工作中发挥了核心作用，它们是球面（或者更确切地说是它们在 log CY 情况下的类似物）上的分段直线路径。让我困扰的是我们不知道这些东西“真正”是什么。过了一会儿，我在与马蒂亚斯·琼森（Mattias Jonsson）的一次非常鼓舞人心的对话中了解到，别尔科维奇（Berkovich）版本的解析盘（带有一个标记点）包含一条典范的分段直线路径。

然后，在与马克西姆的一次长谈中，我记得是在IHES主楼的小报告厅里，我们意识到这些折线确实一定就是琼森提到的这些典范路径，并且镜像代数中的结构常数必须是这些解析盘的数目（解释了为什么它们是正整数，它们是某些东西的朴素计数）。这是我一生中最激动人心、最重要的数学对话之一。

要利用这个想法需要在别尔科维奇几何学方面做大量的基础工作（当时我对此基本上一无所知）。当时，我有一个非常有前途的研究生，他刚从中国来到德州大学。我把这个问题交给了他。他是一个非常聪明的学生，但这是一次非常艰难的提升——尤其是因为我对这个学科知之甚少，无法为他提供太多帮助。他最终做了一些不同的事情，而且也非常好（后来他离开了数学界，现在在谷歌找到了一份非常好的工作）。我不知道的是，马克西姆还有一个新的有前途的学生，巧合的是，他也来自中国。他给了他本质上同样的问题。

结果就是（托尼）余越（Tony Yue Yu）相当精彩的博士论文 https://link.springer.com/article/10.1007/s00208-016-1376-3 。从那以后，托尼和我一直在这项工作的基础上继续努力，用别尔科维奇几何术语重新表述了格罗斯-西伯特计划的大部分内容。至此，我们已经实现了与马克西姆在小教室度过的那个（对我来说）重要的下午的许多疯狂愿望。此后，托尼和我回去并使用别尔科维奇公式重做了GHKK（Gross-Hackin-Keel-Kontsevich）https://projecteuclid.org/journals/annals-of-mathematics/volume-198/issue-2/The-Frobenius-structure-theorem-for-affine-log-Calabi-Yau-varieties/10.4007/annals.2023.198.2.1.short （该论文获得AMS莫尔奖 https://www.ams.org/news?news_id=7403 ）的大部分内容。马克西姆可能与最初的 GHKK https://www.ams.org/journals/jams/2018-31-02/S0894-0347-2017-00890-7/viewer/ 没有太大关系。但他的想法是这次重新阐述（我个人更喜欢它）的基础。

附录：IHES官网的祝贺文章2024-12-18

IHES很高兴地宣布马克西姆·康采维奇（Maxim Kontsevich）荣获美国数学会（AMS）颁发的2025 年莫尔（Moore）奖。

该奖项于2004年设立，以纪念AMS前主席E.H. Moore命名，每三年颁发一次。它认可在AMS期刊之一上发表的研究文章，这些期刊包括 Journal of the AMS《AMS杂志》、Proceedings of the AMS《AMS论文集》、Transactions of the AMS《AMS汇刊》、AMS Memoirs《AMS回忆录》、Mathematics of Computation《计算数学》、Electronic Journal of Conformal Geometry and Dynamics《共形几何与动力学电子杂志》和 Electronic Journal of Representation Theory《表示论电子杂志》。

在2025年的奖项中，Maxim Kontsevich 和他的合著者Mark Gross （剑桥大学）、 Paul Hacking （马萨诸塞大学阿默斯特分校）和Seán Keel （德克萨斯大学奥斯汀分校）因其发表于 2018 年美国数学会杂志的文章《丛代数的典范基》 Canonical Bases for Cluster Algebras https://www.ams.org/journals/jams/2018-31-02/S0894-0347-2017-00890-7/viewer/ 而获得殊荣。

巴黎西岱大学数学教授Bernhard Keller反思了这篇开创性的文章：

丛代数（cluster algebra）由Fomin-Zelevinsky https://www.jstor.org/stable/827129 于2002年发明，是某些具有丰富组合结构的交换代数。在这些代数中，有格拉斯曼的齐次坐标代数、双布鲁哈特（Bruhat）单元的齐次坐标代数以及在几何和李理论中具有重要意义的许多其他变体。福明-泽列文斯基的主要希望是获得一种组合方法来构建 Lusztig 的“典范基”（此类坐标代数所拥有的），以及与他密切相关的完全正性理论。

Fock-Goncharov http://www.numdam.org/item/ASENS_2009_4_42_6_865_0/ 在他们著名的对偶猜想中使 Fomin-Zelevinsky 的希望更加精确。但即使使用这个框架，事实证明，以所需的通用性为丛代数构建“典范基”也是极其困难的。同样，Fomin-Zelevinsky 2002年的正性猜想几乎完全开放，直到2013年Lee-Schiffler证明了它适用于由箭图（quiver）产生的丛代数。在这篇论文中，Gross-Hacking-Keel-Kontsevich 做出了两个突破：

他们证明了由任意值的箭图产生的丛代数的完全普遍性的正性猜想；

他们为一大类丛代数，特别是李理论和高等Teichmüller理论中的所有例子构建了“规范基”，从而（部分）证实了Fock-Goncharov的猜想。

他们使用镜像对称工具（散点图和折线）获得这些结果，这些工具主要由Kontsevich-Soibelman和Gross-Siebert开发，其对丛代数的适用性是Gross、Hacking和Keel的深刻洞察。通过其结果和方法，这篇论文对丛代数的研究产生了革命性的影响，在许多其他领域产生了重要影响，这些领域已被证明是相关的，特别是枚举几何、表示论和量子拓扑结构。

IHES 热烈祝贺 Mark Gross、Paul Hacking 和 Seán Keel（都是该研究所的前访客）以及 Maxim Kontsevich 获得这一享有盛誉的奖项。

参考资料

https://www.ihes.fr/en/ghkk-keel/

https://www.ihes.fr/en/kontsevich-moore-prize/

https://link.springer.com/chapter/10.1007/0-8176-4467-9_9

https://annals.math.princeton.edu/2011/174-3/p01

https://link.springer.com/article/10.1007/s10240-006-0039-4

https://www.jstor.org/stable/827129

http://www.numdam.org/item/ASENS_2009_4_42_6_865_0/

https://link.springer.com/article/10.1007/s00208-016-1376-3

https://projecteuclid.org/journals/annals-of-mathematics/volume-198/issue-2/The-Frobenius-structure-theorem-for-affine-log-Calabi-Yau-varieties/10.4007/annals.2023.198.2.1.short

https://www.ams.org/news?news_id=7403

https://www.ams.org/journals/jams/2018-31-02/S0894-0347-2017-00890-7/viewer/

https://icea.se/blogs/news/austin-based-ut-math-professor-folk-artist-sean-keel-reveal-the-raw-starkly-evocative-record-ferals-welcome-his-second-album-after-signing-with-icons-creating-evil-art

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