新书推荐：地球物理反演理论、算法及应用

本书系统全面地论述了地球物理反演领域的基础性知识，主要介绍了地球物理反演的基本概念、理论框架、算法及其在实际中的应用，内容涵盖了从基础的正演问题到复杂的反演问题，包括确定和不确定两类问题的处理技术，并详细讨论了利用地球物理观测资料反推地球物理模型的方法，强调了反演技术在地球内部结构研究中的重要性。此外，书中还涉及了最优化理论与方法，包括线性搜索、牛顿法、共轭梯度法等，为解决地球物理中的优化问题提供了理论基础和实用工具。

责任编辑：焦健 jiaojian@mail.sciencep.com

前言

由地球物理观测资料去反推地球物理模型，这类问题统称为反问题。地球物理数据反演与解释是研究地球内部结构不可或缺的技术手段，而处理技术的有效性和处理结果的可靠性会直接影响地质解释人员的分析和判断。

反问题是对正问题而言的。以微分方程为例，正问题涉及如何构建微分方程来描述和刻画物理过程和系统状态，以及在特定条件(如初始或边界条件)下求解这些方程，以获得对过程和状态的数学表达。而微分方程的反问题，是指从微分方程解的某些泛函去确定微分方程的系数或其右端项。显然，这里存在两种类型的反演问题：第一类是确定过程的过去状态；第二类是借助解的某些泛函去确定微分方程的系数。无论是上述哪类问题，均是地球物理反演的研究内容。因此，地球物理反演可简要概括为：在地球物理学中，反演理论是指研究如何将观测数据映射到相应的地球物理模型的理论和方法。

地球物理学是一门涉及领域极为广泛的综合性交叉学科，其内容涵盖重力、磁力、电场、地震、钻井及放射性等多个方面。即便是相同的方法，也存在多种不同的数据采集技术，例如在电磁学领域，就有直流电法和交流电法之分。进一步地，根据采集仪器所搭载的平台，又可以划分为地面电磁法、航空电磁法、海洋电磁法和井中电磁法等多种形式。此外，根据场源的不同，还可以区分为人工源和天然源两大类。尽管这些方法各异，正演公式也呈现出千差万别的特点，但它们都遵循麦克斯韦方程组这一基本规律，因此在反演方法上存在许多共同之处。反演理论关注的是各种地球物理观测数据反演方法的共同理论基础、反演过程中普遍遇到的问题，以及解决这些问题所需的必要策略。

绝大多数的地球物理问题都是非线性问题，模型参数和观测数据之间有着极为复杂的非线性关系。然而，在一定条件下非线性问题可以线性化，即把非线性问题转化为线性问题。地球物理反演问题有线性反演(如重磁)和非线性反演(如电磁)之分，前者指观测数据和地球物理模型之间存在线性关系(线性函数或线性泛函)，而后者是非线性关系(非线性函数或非线性泛函)。

在进行反演分析之前，首要任务是确立观测数据与地球模型参数之间的函数关系。这一步骤至关重要，它使得地球物理学家能够根据既定的模型参数推算出相应的观测数据(即完成正演计算)，同时也能根据观测数据反推出地球物理模型的参数，实现反演映射。显而易见，正演计算是反演过程的基础和先决条件。只有当正演计算问题得到妥善解决时，无论是采用解析方法还是数值模拟方法，反演映射才有可能顺利实施。然而，并非所有地球物理问题都已经被科学家们彻底理解，并且确立了相应的数学物理模型。例如，天然地震的预测、地磁场的起源及其向西漂移等现象，就是这类尚未完全解决的问题的典型例子。毫无疑问，对于这些尚未完全理解机制的问题，当前的反演技术仍然显得力不从心。这提醒我们，在地球物理学的探索道路上仍有许多未知领域等待我们去发现和理解。

然而，确立正确的数学物理模型并不意味着反演问题就此解决。与其他学科一样，反演理论同样面临着其特有的挑战。正如著名理论反演专家R.Parker在其论文“Understanding inverse theory”中所阐述的，反演理论需要解决四大问题。

（1）解的存在性：给定一组观测数据，是否一定存在一个能拟合观测数据的解或模型。

（2）模型构建：如果存在性是肯定的，如何求得或构建能拟合观测数据的解或模型。

（3）非唯一性：能拟合观测数据的模型是唯一的还是非唯一的。

（4）结果的评价：如果解是唯一的，如何从构建的模型中提取关于真实模型的地球物理信息。

关于解的存在问题：通常并不是什么特别问题，只要拟合差达到了期待的水平，就可以认为解是存在的。

关于解的非唯一性：地球物理中的多解现象是非常普遍的，此时解的非唯一性是地球物理资料反演中最重要的问题之一。由于实际情况下观测数据的数量有限，且数据中包含复杂的噪声，解的非唯一性正是由此而来。

当未知模型参数的个数大于观测数据个数时，即欠定问题，此时解是非唯一的，甚至可有无限多个解能够拟合观测数据。为了求得反演问题的一个特定解，我们必须加入一些观测数据中未包含的信息，这种附加给反演问题的信息称为“先验信息”。

根据补充信息类型的不同，可将先验信息分为以下四类。第一类先验信息指的是待求地球物理参数的物理性质和其可能的数值范围，在电磁反演中也称上下限约束，即给定一个符合常理的电阻率范围。第二类先验信息来自其他已知的地质、地球物理和钻井资料，如反演地区的基底深度、目标层的厚度或金属矿的属性等。第三类先验信息指的是某些参数比其他参数的影响更大，对解决地球物理问题更重要，此时可选择对模型参数进行加权，在一定权系数的约束下进行求解。这类信息是地球物理反演中极为常用的一种，根据加权系数的不同可得到不同的解。第四类也是纯欠定问题解法中常用的先验信息，假定的地球物理模型“最简单”。这里的简单指的是在保留实际地球物理模型基本特征不变的情况下，对地球物理模型的一种简化。

电磁数据反演主要分为确定性反演和不确定性反演两大类。其中，不确定性反演是在模型空间按照随机搜索的方式，达到全局寻优的优化方法，也可以称为全局最优方法，主要包括贝叶斯反演、粒子群算法和模拟退火算法等。此类方法不需要计算目标函数的梯度值，且反演的最终结果不依赖于初始模型的选择。然而，基于概率类优化算法的不确定性反演技术需要对模型空间进行大规模密集搜索，正演计算会耗费大量的时间。因此，基于概率类优化算法不确定性反演技术常用于未知数较少的低维问题或者正演计算量小的反演问题，不适合三维反演及正演计算量大的反演问题。

基于梯度类优化算法的确定性反演技术，在模型解空间中搜索最优的下降方向，经有限次迭代就可以完成收敛，从而达到最优解。因此，与不确定性反演相比，基于梯度类优化算法的确定性反演具有更高的计算效率，是目前电磁勘探数据反演的主要技术手段。各种梯度类优化算法，包括高斯-牛顿(Gauss-Newton，GN)法、拟牛顿(quasi-Newton，QN)法、非线性共轭梯度(nonlinear conjugate gradient，NLCG)法和有限内存拟牛顿(BFGS)算法(L-BFGS算法，一种拟牛顿方法)等被应用到寻找电阻率模型最优解问题中。这些算法可以基本满足三维电磁反演的内存需求以及计算速度的要求。

GN方法以其较少的反演迭代次数和快速的收敛速度而著称，通过灵敏度矩阵巧妙地避免了二阶黑塞(Hessian)矩阵的复杂计算。L-BFGS算法作为一种高效的拟牛顿方法，通过避免密集的Hessian矩阵计算，显著节省了计算时间，提高了计算效率，而NLCG法则以其较少的正演计算量和较低的内存需求成为解决大规模问题的理想选择。

对于大规模的电磁反演问题，即使避免了Hessian矩阵，灵敏度矩阵的计算仍需占用大量内存且计算速度慢，因此灵敏度矩阵的计算是高维电磁反演的关键问题。为了节省内存和计算时间，常采用伴随正演的方法计算灵敏度矩阵，即不直接求解灵敏度矩阵而是求解其和一个向量的乘积，通过伴随正演能够明显地改善计算效率。

上述梯度类方法依然是电磁反演技术的核心。虽然这些方法在几十年前就已经被提出，但现代的反演工作大多是在这些经典框架的基础上进行一些细节上的优化和调整，主要体现在采用不同的正则化策略来改善性能。

对于反演问题更深层次的理解和见解，我们将在书末的结束语部分进行更深入的探讨和阐述。