乘法知多少：从自然数到复杂数学对象的跨越

本文作者：刘瑞祥。【遇见数学】感谢刘老师的投稿支持！

我们从小学就开始接触乘法，可是你知道有多少种不同的乘法吗？

最基本的乘法，当然就是自然数之间的乘法。我现在还记得小学开始学乘法口诀的时候，老师让我们在作业纸上画一堆小星星，比如五行六列，就是。

乘法口诀是最值得背诵的数学内容，而且幸运的是，我们中国人使用的汉语，是一种单音节语言，背起来简直不要太方便。据说很多已经移民到国外的华裔，尽管生活中都已经用外语交流了，但只要提起背乘法口诀，就仍然用汉语。这真是老祖宗留给我们的财富。

这之后进一步的，我们就要接触到小数、分数的乘法。于是，“越乘越小”这种奇怪的现象也出现了。“先约分再分子分母分别相乘”这样复杂的法则也出现了。

注意，实际上我们在做多位数乘法的时候，就已经用到了乘法分配率，而涉及到小数乘法的时候，实际上也涉及到了“分子分母分别相乘”。只不过，小学生哪有那么多的心眼呢？

▲ 某小学试卷局部内容

接下来是正负数的乘法，其中最为人们困惑的，就是“负负得正”这个规则。现在一般是用速度、时间、路程来解释的，比如以向东行驶为正，则向西为负，计时起点之后为正，则计时起点之前为负，那么设有一人向西的速度为千米/小时，小时前位于什么位置？显然是在东边千米处。但显然更严谨的做法是从“数学”本身得出规则，幸运的是，“负负得正”给出的结果和数学的其他部分是相容的。

在开始下面的内容之前，我要插一段关于“乘方”运算的内容。本来乘方运算是连续自乘的简写，如同乘法是连续自加的简写一样，但是正如乘法发展起来就脱离了原始的加法一样，乘方运算发展到后来也和乘法几乎没有关系了。

初中除了引入负数外，我们还开始了字母运算，自然免不了整式、分式等等的运算，而其中的规则和整数、分数差不多。我以为，对于初中生来说，能明白整式、分式和整数、分数运算规则之间关系的，才算是学会了。

接下来就是无理数（式）的乘法。不过中学阶段的无理数乘法，可不是建立在什么实数理论上，而是直接给出√a √b=√(ab)。

以上这些，学的时候懵懵懂懂，好像也没有谁对这些内容有特别的想法。一直到高中，接触到了复数，好像乘法才有了点意思。乘法居然可以表示旋转。

其实高中讲到三角函数的时候有“积化和差”的，但可惜没有哪个同学能联想到这个和指数运算规则有关系。

我不知道现在的高中是不是学到向量的点乘和叉乘了，不过我觉得，老师讲到这里的时候一定要适当联系相关的物理知识，比如做功就是力和位移的点乘，带电粒子在磁场中受到的力就是叉乘。当然，二者的背景远远不止这些，其余比如科里奥利力，或者计算力矩等等，都是向量叉乘的物理意义。

叉乘有个新的特点，那就是不满足交换律。这也是第一种不满足交换律的乘法。

这之后，我们会遇到更多更复杂的数学对象，比如四元数、矩阵，其乘法也都不满足交换律——即使是两个同阶的方阵相乘，也不满足交换律。

另外，前面提到的点乘，有时又称为“内积”，但是“内积”还具有更广泛的含义，有时不只是代表一种乘法，还代表更抽象的运算，比如某些积分运算。看起来，数学家可以把定义玩出花来。

以上介绍了不同的乘法，你知道其中的哪些乘法？想不想了解那些你不知道的乘法？那就努力学习吧。