近日，西北工业大学本科校友、美国布朗大学博士毕业生、美国约翰斯霍普金斯大学博士后研究人员尹明朗和所在团队，提出了一种基于 AI 的神经算子框架（DIMON，DIffeomorphic Mapping Operator learNing）来预测偏微分方程（PDEs，Partial differential equations）在不同几何形状的计算域上的解，并证明 DIMON 具备广适用性和可扩展性。
图 | 尹明朗（来源：尹明朗）
研究中，他们使用 DIMON 成功预测了上千名心脏病患者的心脏电信号传播。在这个任务中，DIMON 把原来需要在超算上演算 3-5 个小时的任务转移到了个人笔记本上，并且只需几秒钟就完成了精度高达 98-99% 的预测结果。此外，训练 DIMON 只需在个人笔记本上花费 10 分钟，与数值偏微分方程求解所需计算成本比起来可忽略不计。
相关论文发表于Nature Computational Science。在论文上线的三个多月中获得了超过 22000 次点击。
其认为，这种框架在工程领域和医学领域有很大的应用前景，例如可用于工程领域的外形优化以及偏微分方程快速求解等等。举一个医学的例子：尹明朗所在团队通过研发新的计算技术以及 AI 模型来解决心脏病专家所面临的临床问题，其中包括一项名为数字孪生（digital twins）的技术。
数字孪生是一种为精确医疗带来革命性的技术，并且已经被用于提升心脏病患者护理和治疗计划。但是鉴于在现阶段应用中过高的计算成本，这项技术在进一步扩大临床中的应用面临挑战。
而本次成果可以当作一种新型的解决方案，推动并扩大数字孪生技术在心脏病学以及精确医疗中的应用。尹明朗等人预计，心脏病医生未来可以在一系列的应用中利用和转化这项技术，例如用于支持临床诊断、预测患者对药物的反应或者优化手术方案等等。
但尹明朗特别强调，DIMON 的适用性远比上述领域要广。目前，他和所在团队也在积极与其他领域的学者进行合作。
偏微分方程刻画了客观世界中物理量随时间、空间变化的关系。例如，偏微分方程可以用来描述水流的运动、药物在人体中的代谢和扩散、为金融衍生品的期权定价，以及用于计算机图像处理等。
使用数值方法求解偏微分方程是科学和工程领域中一项非常常见的任务。在优化设计或计算科学等许多应用场景下，经常需要在不同形状的计算域上对偏微分方程进行重复求解。
一次偏微分方程求解可能会在超级计算机的数十乃至上千个计算核心上花费几十小时甚至更久，但如果在上千个不同形状计算域上重复次过程，计算成本会高得难以承受。
而本次研究的动力也来自于临床应用的迫切需求，尹明朗等人意识到当前生物医学工程领域亟需一种能够快速预测偏微分方程在不同计算域上解的手段，来推广数字孪生技术并辅助临床医学。针对这个挑战，他和所在团队希望能够研发一种新型 AI 解决方案。
此前，针对本次问题的理论框架以及模型探索处于几乎空白的状态。与此同时，这也是尹明朗在博士后训练中接手的第一个项目。
经过大量的文献阅读之后，尹明朗意识到，微分流形和形状分析的一些理论以及方法可以引入到 AI 模型中。很多相关领域学者就在尹明朗目前所在的约翰斯霍普金斯大学的应用数学系和生物医学工程系。
所以，尹明朗主动联系了相关学者并达成了合作意向。在合作的过程中，两位数学系教授提供了大量的理论帮助。“有时候我会开玩笑地说，有问题解决不了我就走到隔壁楼。”尹明朗表示。而在与他们的合作中，DIMON 的理论框架也被确定下来。
随后，尹明朗寻找实际数据并着手产生训练所需的数据。其表示：“我坚持认为自己的研究应该是问题导向的，并且一定要用实际数据来验证模型表现。”
但是，处理实际数据非常费时费力。他所遇到的几个挑战包括：由于数据来源于心脏病患者的核磁影像因此图像分割质量层次不齐，由于之前并没有相关方面的代码积累因此缺少自动化的 code，由于数据来源于上千个心脏病人因此数据量十分庞大。为此，针对所产生的训练数据，他们花费了将近六个月的时间。
当然，也可以选择不用患者数据，而是使用合成数据作为替代。但是，尹明朗认为这种方案无法百分百地确定模型在实际数据上的表现。幸运的是，他对于使用实际数据的坚持最终是值得的。
日前，相关论文以《用于学习偏微分方程的几何依赖解算子的可扩展框架》（A scalable framework for learning the geometry-dependent solution operators of partial differential equations）为题发在Nature Computational Science[1]。
尹明朗是第一作者，约翰斯霍普金斯大学娜塔莉亚·特拉亚诺娃（Natalia Trayanova）教授和毛罗·曼吉奥尼（Mauro Maggioni）教授担任共同通讯作者。
（来源：Nature Computational Science）
总的来说，本次框架提供了一种基于 AI 的快速预测偏微分方程解的解决方案，并使 AI 能够促进许多下游应用。
除了在临床医学中的应用，研究人员的框架在拓扑优化方面也很有前景。在拓扑优化中，形状被优化以满足某些设计要求，在这种优化过程中，偏微分方程需要在大量不同几何域上反复求解。
DIMON 允许通过自动微分计算成本函数相对于描述域形状的参数的导数，这反过来又简化了形状优化中容许变形的计算。该框架方便地允许在不同的几何形状上施加边界条件、初始条件或局部材料特性。
DIMON 也有几个局限性。在这项工作中，研究人员只考虑映射标量函数，而映射向量场或张量场尚未讨论，因为它在表示流体和固体力学中的应力和速度方面具有特别重要的意义。结合跨形状或流形传输矢量场和张量场的方法可能会解决这个问题，并在未来引起人们的兴趣。
本次框架旨在学习一系列微分域上的算子，而在非微分域或拓扑不同域上的学习算子需要先讨论偏微分方程解的存在性，需要视情况讨论，超出了 DIMON 的讨论范围。
此外，尽管主成分分析（PCA，principal component analysis）确实是一种不考虑拓扑结构对形状进行参数化的通用方法，但由于非均匀有理 B 样条（NURBS，non-uniform rational B-spline）等局部形状参数化方法具有样条或多项式的显式形式，所以也可以采用这些方法。
此外，对网络的收敛速度进行严格分析超出了本研究的范围，因此很难先验地估计实现给定解精度所需的训练集的大小。
此外，本次工作对尹明朗等人未来的研究具有奠基性的意义。尹明朗等人在一方面在积极利用 DIMON 验证它在实际临床中的应用，比如预测房颤或者缺血性心脏病患者的电生理过程。另一方面，尹明朗在与计算数学家与工程师合作，在拓展 DIMON 在外形设计中的应用。
参考资料：
1.Yin, M., Charon, N., Brody, R. et al. A scalable framework for learning the geometry-dependent solution operators of partial differential equations.Nat Comput Sci4, 928–940 (2024). https://doi.org/10.1038/s43588-024-00732-2
排版：刘雅坤
