菲尔兹奖得主广中平祐：从数学概念理解微分与抽象化的智慧

菲尔兹奖、日本学士院奖、日本政府文化勋章得主，日本数学大家——广中平祐讲述独特的“可变思考”法，呈现数学家理解“复杂”与“变化”的巧妙视角。
创造与灵感的心血力作，用数学探索创造性思维的本质与根源。
本书为日本数学家、菲尔兹奖得主广中平祐的思想文集。书中以“创造性思维”为线索，讲述了作者在数学研究中总结出的思考模式——“可变思考”，并在问题的发现、提出、整理、转换等方面作了具体阐述，让读者了解数学家独特的多维度思考方法。
同时，本书还对日本数学教育中的问题作了分析，提出了学校教育、亲子教育中培养创造性思维的原则与方法。本书是广中平祐先生对自己研究方法的系统性总结，是了解其思想以及日本数学研究方法的珍贵资料。

来源 | 《可变思考：数学与创造性思维》

作者 | [日]广中平祐

译者 | 佟凡

01“表现”抽象化的事物，让他人“理解”

在数学领域，过于抽象的概念同样很难理解，就算逻辑上是正确的也无法理解。这时，只有通过具体问题表现出来，才能真正让他人理解。

比如我已经在上文中介绍过数学领域有“群论”这个分支。从“群”这一元素的集合中选出元素，考察它们之间存在怎样的关系，能够如何组合，这便是“结构”。但是这种抽象的定义很难理解。

那么让我们尝试将抽象群用选择出来的具体空间运动来表现，比如平面旋转。这时，抽象群就成了通过选择得到的具体运动群，得到了具体的表现。

数学中的表现是指将一个概念用具体清晰的情况重新表达。可以说我们数学家的工作，就是在重复“抽象→表现→抽象→表现”这一脑力劳动过程。

02A 除以 B，会产生既不是 A 也不是 B 的另一个概念

“微分”也是象征化的方法之一，是一种“通过不断舍弃各种具体条件，最终得出一项定律”的数学语言。

举例来说，假设从地点 A 出发沿着某条路线前进，到达地点B 需要花费一定的时间。这时必须描述很多条件，比如通过的路线是什么样的，距离是多少，最终花费了多少分钟……

将这些条件进行微分后就得到了“速度”的概念。也就是说，用距离除以时间得到的是速度。当我们说“以某速度前进”时，就不需要一一解释 A 地点、B 地点的位置和每一段路程花费的时间，对于了解两个地点和路径的人，只需要说出速度就够了。接下来，沿着不同的路径从 C 到 D 时，“速度”概念是共通的，只需要给出“用和之前同样的速度”，或者“速度是之前的 2倍”等条件，就能计算出需要花费的时间。

有了速度的概念，只要知道到达 B 地点的时间，就能计算出应该何时从 A 地点出发，像这样将其应用在具体问题中。“速度”概念舍弃了出发点、终点和两地距离等要素。舍弃这些要素，就可以找到适用于各种情况的概念。这就是“微分的思考方法”。

03当具体条件消失时，定律就出现了

再举一个“重力”的概念。所有物体都受到固定的向下的力，这是普遍的概念，这里的“重力”可以换成“加速度”，这同样是“微分”思维。

重力的性质是它作用于一切物体。无论将物体朝正下方扔出还是斜着抛出、向上抛出，物体都会产生方向朝下、数值固定的加速度，最终落向地面。适用于所有场景、与投掷方向等具体条件无关的，就是“物体受到向下的力”。

将微分作为一项计算技巧学习的人应该知道，“常数”的微分结果为零。一次函数自变量进行两次微分计算后为零，图像为抛物线的二次函数进行三次微分后同样为零。

微分就是对方程式进行适当的变形，重复多次后，各种常数会不断变成零消失。各种常数就是“具体条件”，当它们变成零后，最终剩下的就是具备普遍性的定律。

要想得到速度，需要用距离除以时间，但速度既不是时间也不是距离，而是另一个完全不同的概念。因此可以说，“微分”就是通过除法运算进行的抽象化操作。

先进行微分（抽象化）思考，然后进行积分（具体化）思考，这样就能厘清思路。