数学巨匠希尔伯特：抽象数学有种看不见的强大力量

普鲁士的首府柯尼斯堡镇，因“柯尼斯堡七桥问题”（欧拉在1735年解决了这个难题）而在18世纪闻名于数学界。
到了19世纪后期，这个小镇在“数学地图”上重振声威，因为这里诞生了一位20世纪的数学大咖，他就是大卫·希尔伯特。

来源 | 《悠扬的素数：二百年数学绝唱黎曼假设》

作者 | [英] 马库斯•杜•索托伊

译者 | 柏华元

数学“管弦乐”

希尔伯特热爱自己的家乡，并看到在哥廷根城墙内，数学之火燃烧得最为剧烈。因为拥有高斯、狄利克雷、戴德金和黎曼这样的数学大师，所以哥廷根俨然成为数学界的朝圣之地。

也许与当时的其他人相比，希尔伯特更敏锐地嗅到了黎曼带来的一场数学巨变。黎曼意识到，探索及理解数学世界的法则和规律，比专注于公式和繁琐的计算收获更丰。

数学家们开始以一种新方式来聆听数学“管弦乐”。他们不再拘泥于单个音符，而是开始注意寻找隐藏在研究对象背后的音乐之声。

黎曼在数学界发起一场“文艺复兴运动”。到了希尔伯特那一代，这种思想就成为了主旋律。1897年，希尔伯特写道，他希望奉行黎曼一贯遵循的原则，即证明的动力在于主动思考而非被动计算。

希尔伯特因此在德国学术圈占据了一席之地。孩提时他就了解到，古希腊人已经证明，要想尽可能生成所有数字，就需要无穷多个素数。上学时他就猜测，如果将数字换成方程的话，结果似乎就大不相同了。

究竟如何证明，和素数相比，只有有限的方程才可用来生成某些有无穷多解的方程组？这成为19世纪末的数学家面临的一大挑战。

和希尔伯特同时期的其他数学家，尝试通过构建方程这种费时费力的方法来攻克这个难题。

希尔伯特却证明，这些有限的方程必然存在，即使他无法构建出这样一组方程。这一观点震惊了当时的数学界。

当看到高斯轻而易举地算出1～100的所有数字之和时，高斯的老师脸上露出怀疑的神情，第一反应是“他作弊了”。同理，希尔伯特的导师也心生怀疑：这个方程理论是不是来得太容易了？

这对当时的正统派数学理论来说可是个不小的挑战。如果无法看到有限的列表，就很难接受它的存在，即使有确凿证据支持它的存在也是如此。对于那些仍固守法国数学传统——数学基于方程和显式公式——的数学家来说，是很难从心理上接受这样一种观点的：有些东西看不见，但确定无误就在那儿。

保罗·戈尔丹是该研究领域的专家，他这样评价希尔伯特的发现：“这不是数学，这是神学。”

希尔伯特依然坚守着自己的阵营，即使那时候他只有二十几岁。最后数学家们终于承认，希尔伯特是对的，就连戈尔丹也妥协让步了。戈尔丹如此说道：“我相信，就算神学也有可取之处。”

在此之后，希尔伯特开始研究起数字来，他将那些数字形容为“一座难得集美与和谐于一身的建筑物”。

推动数学革命的交际花

1893 年，德国数学学会邀请希尔伯特写一份关于数论在19世纪末发展情况的报告。这对一个刚刚三十出头的年轻人来说是一项艰巨的任务。

一百多年前，这门学科甚至都没形成一套完整的体系。高斯于1801 年出版的《算术研究》一书开辟了数论这片沃土，因此到了19世纪末，“数论之花”才绽放得如此热烈，甚至已有生长过剩之势。为了使这个学科的发展步入正轨，希尔伯特的旧识赫尔曼·闵可夫斯基加入到他的阵营。

他们在柯尼斯堡读书时就认识了。闵可夫斯基在数论上成绩斐然，18岁时就斩获了数学科学大奖。他十分乐意从事数论研究工作，因为他相信，这会使他聆听到这种“强大音乐的主旋律”。闵可夫斯基的加入，点燃了希尔伯特对素数的研究热情。闵可夫斯基宣称，在他们的聚光灯下，素数会一下子就摇曳生姿起来。

希尔伯特的“神学”为他在欧洲数学界赢得了一席之地。1895年，菲利克斯·克莱因教授向他抛来了橄榄枝，来信希望他在哥廷根大学任教。希尔伯特二话不说，欣然接受了邀请。

在讨论聘用希尔伯特一事的大会上，其他教职工都对克莱因的力挺表示质疑，都纷纷猜测他是不是招来了一个毫无立场的跟班儿。克莱因向他们保证，希尔伯特绝不是那类人。他说道：“我已经问过最难相处的人的意见了。”

就在那年秋天，希尔伯特只身前往那座小镇，他的灵魂导师黎曼就曾在那里任教。他希望自己能进一步推动那场数学革命。

不久，教职工们就意识到，希尔伯特并不满足于挑战数学正统。这个新同事的行为做派令那些数学家的妻子们大开眼界，震惊不已。其中一个人这样写道：“他简直就是来搅局的。我听说，有一天晚上，有人看见他在餐厅的后厨和学生们打台球。”

日子一天天过去，希尔伯特在哥廷根赢得了一些女士的芳心，其大众情人的名声也因此流传在外。在他举办的50岁生日宴会上，学生用字母表的每个字母代表一位被他征服的女士，以此为歌词，为他演唱了一首歌曲。

这位潇洒不羁的教授还买了一辆自行车，这让他更红了。经常有人看到他骑车穿过哥廷根的街道，为他的情人带上一束自己从花园里采摘的鲜花。他讲课时，衣着随便，只穿衬衫，不穿外套，这在当时是闻所未闻的。在寒冷的食堂里，他会向前来就餐的女士借用毛围巾来保暖。希尔伯特是故意引来争议，还是仅仅为了获得解决所有问题最直接的答案，就不得而知了。

不过，有一点可以肯定，那就是他花在数学问题上的心思比在社交上多得多。

希尔伯特在院子里架了一块20英尺长的黑板。除了照顾花圃和自行车炫技之外，其余的时间他就在黑板上演算数学问题。他特别喜欢聚会，经常将留声机的最大唱针放到唱片上，大声播放音乐。在终于听到恩里科·卡鲁索的现场演唱后，他相当失望，说：“卡鲁索演唱用的唱针太小了。”

不过，与希尔伯特在数学上取得的成就相比，这些小怪癖无足轻重。1898年，他将研究方向从数论转到了几何学上。他对一些数学家在19世纪提出的新几何学大感兴趣，这些数学家宣称其违背了古希腊人提出的一条基本几何公理。他坚信抽象数学有种看不见的强大力量。

因此，一个物体有何物质实体，是无关紧要的；而物体间有何关系，才是至关重要的。

他开始研究起隐藏在那些新几何问题背后的抽象结构和关系来。希尔伯特曾经宣布，如果用桌、椅、啤酒杯来分别代替点、线、面的话，这些几何理论依然行得通。这使他一时声名大振。