防走失，电梯直达
来源：环球科学
作者：杰克·默塔（Jack Murtagh）
图片来源：Unslpash
请思考这样一个问题：假设我在过去9年（2016年4月至今）中随机选取某个具体时刻，精确到年、月、日、时、分乃至秒。你能猜中这个时间点吗？这看上去似乎绝无可能。但其实猜中这一特定时刻的概率仍然比赢得强力球（Powerball）彩票头奖的概率高。
强力球是美国最受欢迎的彩票之一。2023年10月，强力球彩票因头奖金额累积至17亿美元登上头条，这是该彩票历史上第二高的奖金。众所周知，彩票中奖的概率微乎其微。但当头奖奖金如滚雪球般刷新纪录时，天文数字的潜在回报能否抵消极低的中奖概率？换言之，购买彩票是否可能成为一项理性选择？答案或许令人意外——即便数学计算显示，购彩存在好的“期望”（期望值为正），但在现实中，这可能依然是个糟糕的决策。
“期望值”这个数学概念有时被用于区分赌局的好坏。以骰子游戏为例：花1元钱下注1~6中的某个数字，若猜中则赢回赌注，外加额外的1元奖金，猜错则损失本金。显然你不会选择下注，因为潜在的收益与损失一样，都是1元，但失败损失本金的概率高达5/6。
图片来源：Pixabay
如果下注成本仍为1元，但猜中可赢得100元呢？此时的奖金额度似乎足以补偿失败风险。通过概率计算，我们能精确界定玩家愿意参与赌局的临界金额。其中的核心变量有三项：下注成本、潜在收益与获胜概率。通过对所有可能结果（收益与损失）做加权平均，我们可以计算出赌局的期望值：期望值=获胜概率×收益金额-失败概率×损失金额。计算得到的期望值反映了长期重复下注时，每次投注的预期平均收益（负值则表示预期亏损）。
在骰子游戏的案例中，获胜概率为1/6，失败概率为5/6，盈亏金额均为1元。因此，期望值=（1/6×1）-（5/6×1）=-0.67元。这意味着，如果在骰子游戏中长期重复下注，将导致平均每次损失约0.67元。若把奖金提升至100元，期望值将变为正16元，骰子游戏则会成为明显有利的赌局。我们还可以用期望值公式求解赌局的盈亏平衡点（令期望值为0）。对于骰子游戏，平衡点处奖金应为5元——失败概率是获胜的5倍，5倍的奖金恰好能抵消风险。
我们可以用期望值方法来分析强力球彩票。强力球头奖的初始奖池约为2000万美元，每注成本为2美元，而头奖的中奖概率为1/292 201 338。代入公式计算可得，单张彩票的期望值约为-1.93美元——与其购买彩票，不如直接把两块钱换成一毛钱来的划算。更不用说，这一计算过程还忽视了各种复杂因素：首先，它假设你选择了年金的支付方式（美国彩票奖金提取的方式之一，首次提取后29年内每年分期领取，其长期价值高于一次性领取）；其次，它并未计入37%的美国联邦税以及比例各不相同的州税；此外，它还忽略了部分号码匹配的小额奖项分走的奖金。
如果将这些都纳入考量，那-1.93美元的亏损预期都显得过于乐观。不过，2000万美元的奖池和17亿美元的奖池的确是两码事。强力球彩票的玩法是：如果某一期没有人赢走头奖，那么奖池的总金额将会累积到下一轮。当奖池一次又一次地积累增长，巨大的数额总有一天能抵消微小的中奖概率，使期望值大于零。
如果简单套用期望值的公式，在3亿分之一的概率下，17亿美元的奖金的确对应了正期望值。媒体常宣称此时购彩在数学上很合理，但这种说法忽略了一个关键细节：多人同时中奖导致奖金被分摊。此时，精确计算期望值就需要考虑所有的可能情形：独中头奖概率×全额奖金+两个人平分头奖的概率×半数奖金+三个人平分头奖的概率×1/3的奖金......
不过，这样精确的计算是否有意义？既然中头奖本身已是概率极低的事件，那么同一期出现两名头奖得主的概率是否更是低到可以忽略不计？这种直觉在奖池较小、购彩人数较少时或许成立——比如当奖池仅有2000万美元时，多人同时中奖的概率确实微乎其微。但在一些关键时刻，现实往往违反直觉：当销售额达到数亿量级时，头奖“撞车”的概率其实相当高。
图片来源：Pixabay
以2016年为例，彼时头奖金额有史以来首次突破10亿美元（最终为15.6亿），引发了美国全民购彩狂潮，单期销量飙升至6.35亿张（达当年平均销量的20倍）。这种情况下，出现多名头奖得主的概率超过了60%！事实上，最终的确有三名得主瓜分了当期奖金。而即使是如此庞大的奖金池，在平分头奖、抽税和小额奖项的叠加影响下，其收益期望值仍为负数。
此外，60%分摊头奖的概率源自人们完全随机选择号码的假设，可事实并非如此。尽管所有号码组合的中奖概率相等，但人们总倾向于选择那些有意义的号码组合，比如生日或纪念日（这导致有大量数字≤31），或者看似更随机的奇数与非10的倍数。这种行为导致较小数字的奖池更容易“撞车”，而其他数字则相对“安全”，比如选择大偶数与10的杰克·默塔是一位数学科普作家和谜题设计师，他为《科学美国人》撰写数学趣闻专栏，也是《晨间简报》（MorningBrew newsletter）每日谜题的创作者。默塔拥有美国哈佛大学理论计算机科学的博士学位。
倍数虽不会提升中奖率，却能降低分摊奖金的风险。自2016年以来，购彩狂潮已逐渐消退。近年的两大历史级头奖（2022年11月和2023年10月）因人们较为克制的购买欲望，在计入税费与分摊后短暂出现了正期望值，但这种情况极为罕见。美国某些州的地方性彩票因热度较低，或许更易找到正期望值机会。
不过，请不要因此急着去彩票店掏空钱包。正数学期望值的确很有吸引力，但我还是想要提醒：即便如此，彩票依然是一项糟糕的“投资”。具有正期望值的彩票极为罕见，且存在一个关键限制：由于每期彩票的销量数据在开奖前并不会公开，因此其实你并不能精确估算期望值。2016年的案例表明，更大的奖池可能对应着更小的期望值。所以本质上，对彩票期望值的估计本身也是一种赌博。
图片来源：Pixabay
然而，即使你有能力推算出购买人数，正期望值本身也并不代表“好的投资”。更根本的问题在于，期望值模型在涉及中等规模数额且概率显著大于零的场景下能有效指导决策，但在像彩票这类极小概率、超大赔率的极端概率场景中，它的作用存在局限。
首先，期望值以长期重复行为为前提。当你在骰子游戏中押注100元，其实并不能单次就获得16元的期望收益，你要么输掉1元，要么获得100元。只有不断地押注，才能逐渐逼近16元的平均收益。但彩票中奖的极端稀缺性让“长期平均”失去了意义。其次，金钱存在边际效用递减——第二个一亿元带来的快乐远不及第一个。但期望值模型却将每一元钱等值对待。类似的是，该模型也忽视了人类厌恶风险的心理：人们对损失的厌恶通常强于对收益的渴望。因此尽管期望值模型适用于概率系统的评估，却无法简单地适用于我们的人生决策。
最后，让我们退出数学讨论，回归彩票的本质属性——购买彩票其实更像是一场短暂体验幻想的消费。研究表明，购彩行为增加了参与者在开奖前的期待幸福感。对人们来说，重要的不仅仅是彩票的结果，还有参与这项游戏本身。人生难免有非理性支出，而消费彩票的钱也并非毫无意义，反而具有特殊的社会功能：彩票收入多用于教育、扶贫、养老及医疗救助等民生领域，同时也为国家提供了一定的财政税收。所以，尽管从数学理性出发，我无法推荐你去购买彩票，但幸福的生活也不全然依靠数学指导。
本文来自微信公众号“环球科学”。如需转载，请在“环球科学”后台回复“转载”，还可通过公众号菜单、发送邮件到newmedia@huanqiukexue.com与我们取得联系。相关内容禁止用于营销宣传。
