正整数空间01
摘要：本文用初等的方法，初步探讨研究了正整数（数论）里面的一部分规律。是利用几组等差数列公式，获得了自然数规律探讨的一套理论体系。并且对哥德巴赫猜想、孪生素数对猜想的证明有了结果。最后还有对自然数规律更深入研究的扩展公式。本文最核心的基本理论就是“正整数空间”的概念。
关键词：素数分布规律；正整数空间的概念；项素数公式；哥德巴赫猜想；孪生素数对猜想。
引言
在这个宇宙里，有两样东西就像房屋的骨架一样重要。一个就是数，另一种就是几何图形。而数字和几何图形的相互关联，在远古人类智慧的初期就已经开始使用和研究了。比如“河图洛书”、“易经八卦”和勾股定理等等。
早在公元前300年左右，古希腊数学家欧几里得就把前人使用地几何经验，总结整理上升到了理论的高度，写了一部书名字叫《几何原本》。
正整数在几千年来，人类虽然不断地研究探讨，形成一门数学领域里的分支就是“数论”。但是始终没有一个工具用“初等的研究方法”对正整数的规律进行理论研究和探讨。
近300年来世界级的大数学家们也对自然数进行了艰难地探索，虽然有了一门古老的数学《数论》，就是研究自然数里面的规律的。但是它的研究方法过于高深和复杂了，以至于许多问题一般人都无法学习和研究。
我这里给出一个初等的方法，研究正整数里面的规律。就是“正整数空间”的概念及其定义。本文包括三大部分，一是基础理论部分；二是理论的应用；三是对正整数空间理论发展的展望。
1．基础理论部分
1.1． 数论里基本问题的提出
1.1.2． 数论几个基础概念
1.1.2.1. 正整数的分类是：
单位：1
素数：2、3、5、7、11、13、17、19、23……
合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16……
素数的定义：一个大于1的正整数，如果它仅有的“因子”是1和它自己，这个数就是素数，反之就是合数。
1.1.2.2. 欧几里得用优美的证明证明了，在正整数里面的素数是无穷多的。
1.1.2.3 .在数论中最核心，最基础的数论问题，就是这三个问题问题：
第一，合数与素数产生的原因；
第二，有没有直接的“素数公式”？
第三，素数在自然里的分布规律。
1.1.3.面临的难题与问题
1.1.3.1. 关于素数公式的探索
数和几何图形始终是人类文明起源最核心的知识之一，而几何图形以及几何计算，人类在两千年前就已成熟了。但是正整数里面的规律，人类至今都没有形成一个好的知识体系，而被搞得复杂不堪，形不成一个完整的科学体系。主要原因就是人们费了九牛二虎之力，也没有找到素数在自然数里面的规律，就是数学家们在一直寻找那个并不存在的“素数公式”。到目前为止除了我的研究有了成果，其他古今中外的数学家，在这方面的研究都是失败的。
比如费马和梅森公式等等。
还有就是这种n^2-n+41和n^2-79n+1601 形式的公式，都是随着n的增大而出现合数。所以都不是“一般性的素数公式”。
其实“素数公式”不一定非要存在，不存在也是它自身的客观规律，没必要人为的找见它。但是有一个错误的观点，寻找素数在自然数里面的规律，有些人用“概率”的方法，其实这是严重的错误。素数在自然数里的分布不是没有规律，不是概率分布而是有自己特殊的规律。
所以用“高斯素数定理”既x/LnN，研究素数的分布规律是有局限性的。
1.1.3.2. 关于等差数列表示素数的问题
我们知道数学家们知道一些等差数列是含素数的（用等差数列表示素数），但是他们无法证明这些等差数列的性质，不知道这些等差数列里面的素数分布规律，素数是不是有无穷多的？他们也不知道这些等差数列之间的相互关系。把这个问题看成是一个高深的问题，其价值远远大于“哥德巴赫猜想”和“孪生素数对猜想”。
看图片一和图片二。
比如数列5N+2这是一个含素数数列，它可以是2、7、12、17……里面是有素数的，但是无法判断这些素数是不是无穷多的，无法判断它与其它数列之间的关系。比如数列里面的7可以用N+7、2N+5、3N+4等等无穷多的数列形式来表示，这是混乱的，毫无价值的。只有我们把5N+2数列放进“多维自然数空间”5N+A中，这个数列才会有意义。
自然数空间5N+A可以有五个数列一组，代表着全部自然数，如下表（图三）
从表格中我们不用证明就会看到，含素数数列5N+1、5N+2、5N+3、5N+4四个数列中的素数都是有无穷多的。
1.2．正整数空间概念的出现和它的意义
1.2.1 正整数空间概念的出现过程
2001年我从国企下岗了。2002年上半年没去打工，而是关在家里写科幻小说。幻想着靠写科幻小说喝碗稀粥养活自己就行了。既然要写科幻小说就必须读科普读物。中学时期我对自然和数理化就感兴趣，大学期间也读过《数论》，没看懂就把书扔了。平时也读了不少科普书籍和科幻小说，参加工作后也买了不少这方面的书籍看着玩，当时重新拿出来阅读寻找写作的灵感。
许多科普书里都提到了“数论”里面的问题，立马又被这些问题所吸引了。我想不论“哥德巴赫猜想”、“孪生素数对猜想”、“勒让德猜想”，什么“费马大定理”等等，数学家们都是在“自然数的内部”来试图解决问题，我想是不是应该到“自然数的外部”去观察自然数有什么规律？如果找到了这个“规律”，这些问题不就好解决了吗？我们搞工科的有一个实践经验，那就是“干什么活必须要有什么专用的工具”。数学也一样，一些难题解决不了，往往是缺少“理论工具”，必须首先找到这个理论工具才行。
关于什么是“自然数外部”和“自然数内部”？一些人恐怕不好理解，因为没有这个概念。数学就是一种思想，就是一种思维方式，就是“数学思维”能力。这些牵扯到了哲学和逻辑，关系到个人的思维方式问题。
什么是“自然数内部”和“自然数外部”？我试着解释一下，也可能会“言难达意”，我尽力吧。
我们用“第三视角”观察问题，就是在事物的外面看事物的全貌。数学也一样，数学家们都是在“数学内部把正整数看成是一个整体”，他们在研究正整数的“局部问题”。如果你在“正整数的外部”把正整数看成是一个整体，而找正整数的整体规律，这就是在正整数的外部。这也是在正整数的内部和外部之分。
站在正整数的外面寻找正整数的规律，我几乎冥思苦想了三天三夜，终于有一天夜里，在卫生间看着墙上的瓷砖得到了灵感。请看图四。
这个灵感似乎来自“高维空间”，就是在我眼前出现一个“亮点”，越来越大：“所有的正整数都可以用1、2、3三个等差数列一组来表示”。
自然数空间的概念就是这样得到的（图五、图六）。
1.2.1. 正整数空间概念的意义
1.2.2.正整数空间
为了研究问题的方便，我们不再使用等差数列的教科书的形式，而采用KN+A的形式表示等差数列。其中只要K与N互素，这个等差数列就是“含素数数列”，数列所含的素数都是无穷多的，这不需要证明。
正整数空间的概念就是：全部正正整数1、2、3……可以用一组，若干个等差数列来表示。这样每一个正整数，包括素数与合数都会有一个项数N与之相对应。这样一来素数就有了自己固定的位置而不是随机出现的。看下面的图七
这个表格中横向的每一组等差数列都可以代表全部正整数，从1至无穷。
1.2.2.正整数空间的意义
下面我们介绍几个主要的正整数空间的意义
1.2.2.1 正整数空间N+1 的意义
1.2.2.1.1合数项数列与合数素数产生的原因
正整数空间N+1，表格如下(图8)
这样数列N+1就代表了全部正整数。并且每一个正整数，包括素数和合数都有一个项数N相对应。
注意在用等差数列研究正整数的规律时，必须首先注明是在哪一个“正整数空间”里研究，只有这样这些等差数列才具有真实的指向和现实的意义，否则等差数列都是混乱和无效的。
利用项数N我们可以写出按次序无数多的合数项数列，如下
1n+0
2n+1
3n+2
5n+4
7n+6……
Sn+K……
这些合数项数列公式可以写成，Sn+K 的形式。
S是一个素数，n是系数,取值范围0、1、2…… ，K是合数出现的初项位。
注意，这里的1n+0 其中的1是一个素数。这里这个问题我们不做讨论。还有就是合数出现的周期数，就是前面第一个素数本身的数字。
我们看3n+2 合数项数列。
当n=0时，合数项数列3n+2=2.注意这个2是项数,代入n+1数列，得3。后面都是以3为周期的合数。6、9、12……
我们是可以把正整数1、2、3……看成是一个等差数列，为何不直接使用“合数数列”而是使用“合数项数列”？
就是增加了一个项数N就与过去的研究方法有了天壤之别，现在我们研究的是“正整数空间”里面的N+1空间。
看这些合数项公式，我们发现所谓的素数和合数是我们人类自己区分的。不论有没有人类，自然数都是按次序1个1个逐渐增多的（这种增多可以在多维空间里进行），我们这里主要探讨的是在一维的数轴空间上的情况，我们人类把那些不含其它因子的数（1除外）称作“素数”。
通过上面的表格和合数项数列，我们可以看到素数与合数产生的原因。
0是无，1是有。出现了1就像在数轴上形成了一个“空间”，是在桌面上铺上了一张无边的以1为单位，带格子的宣纸，然后在纸上写字。
2就是素数，就是第一个字，它有规律满足公式2K+1而写下去。而第三格，不满足公式K+0和2K+1必须就要写第三个字，也就是素数3……，依次下推至无穷。
这就是素数与合数产生的原因。
数2、3、5……素数就是开始写字的第一笔，而这个第一笔都是出现在没写过字的空白里。字可以有连续的规律，而出现字的空白处也有规律，但是这个规律不是连续的，不能用我们常规的函数公式来表示。
所以数学中没有直接的素数公式。
1.2.2.1.2合数项公式与素数项公式
我们可以在数列N+1中建立一个“合数项”公式，就是
Nh=a(b+1)+b （公式1.1）
这个公式必须配合数列N+1的表格使用，否则是无效的和无意义的。
其中，Nh是合数项，a、b都是项数，取值范围是0、1、2、3……
比如，我们取a=1 b=5 Nh= 11 代入N+1这个合数就是 11+1=12 。
我们取a=3b=4 Nh= 19 N+1=20
我们有一个相对的素数项公式，
Hs=N-Nh （公式1.2）
如果我们遇到一个很大的数字，如何判定是合数还是素数？
K=(N-b)/b+1 （公式1.3）
把项数N代入判定式后，方程如果有整数解就是合数，无解就是素数。当然数字很大时人工计算几乎是不可能的，可以写程序用计算机进行。
1.2.2.2 正整数空间2N+A 的意义
用“2N+A”空间代表全部正整数。如果没有这一条，这一组两个等差数列都是无效的，毫无意义的。做表格如下，(图9)
分析这个表格的性质。
1） 用等差数列2n+1和2n+2表示全部自然数。
2） 数列2n+1是奇数列，但是它包含了除2以外自然数里面的全部素数。
3） 数列2n+2是偶数列，它包含了自然数里面的全部偶数。
4） 我们看到任何一个偶数，都是奇数列两个数的首尾相加。
比如 12=1+11=3+9=5+7 。
看上面的表格，数列组2N+A 里面的“合数项公式”是
Nh=a(2b+1)+b （公式1.4）
这个空间里也有一个素数项公式，
素数项Ns=N-Nh （公式1.5）
这个公式说明性质与合数项公式相同，而变化趋势相反。随着项数N的增大，素数在自然数里减少的。但是必须注意在局部区间内数量减少，而在整体上素数的数量上还是增加的。
这个空间可以证明哥德巴赫猜想，后面我们还要讲到。
1.2.2.3 指出几个正整数空间的意义
正整数 4N+A 空间（图10）
4N+A数列组空间，素数在4N+1、4N+2和4N+3里分布着。这个空间由三个合数项公式组成一组的方程，这里不再讲述。
正整数6N+A空间（图11）
可以变形为（图12）
这个空间比较特殊，正整数中的素数除了2、3以外，全部包含在数列6N±1中。这个空间可以解决一些数论里面的古老问题，所以在后面我们专门有一节对它的理论进行详细的介绍。
正整数 7N+A空间（图13）
正整数8N+A 空间（图14）
这个空间可以做一个平面直角坐标系，素数都在四个坐标轴上。可以用同心圆表示，与化学的元素周期表上的原子核核外电子数有一定的关联。
正整数10N+A空间（图15）
这个空间的意义在于用这十个数列一组可以表示全部正整数，十个数列的平方数列就是全部正整数的平方。它的价值在于同一数列上的尾数都一样。后面有一节专门介绍它。
2025年2月25日星期二
未完待续
下一部分就是对“正整数空间”的应用，包括哥德巴赫猜想、孪生素数对猜想、勒让德猜想、费马数和梅森数等等。还有就是对数论未来发展的展望。
