两千年数学经典《几何原本》：23个定义奠定几何根基，你了解多少

欧几里得的《几何原本》被誉为数学史上最具影响力的著作之一，在西方被用作教科书超过 2000 年，对逻辑和现代科学的发展中发挥了重要作用，其逻辑严谨性直到 19 世纪才被超越。

他在书中开头便列出了 23 个定义，给出了点、线、平面、圆、钝角和锐角等数学术语的定义，随后才给出了 5 种基本概念、5 大公设，并依此推导出大量命题与证明，内容涵盖平面几何、立体几何以及初等数论等领域。

这些精心设计后的定义背后是为了建立共同的术语，在几何学的研究中提供一个清晰的起点。通过明确定义几何学中的关键概念，如点、线、角等，欧几里得确保了读者对这些概念的理解保持一致。这使得几何学可以成为一个严谨的学科，其中的推理和证明可以建立在统一的基础上。

例如，欧几里得给出的第一条定义是：“点是没有部分的事物”。这个定义表达了点作为几何学的基本元素的概念，它没有长度、宽度或厚度，只是代表了一个位置。其他定义，如线段、角和平行线的定义，都揭示了几何学中的重要关系和特性。

下文就是这 23 个定义简要分类：

基本几何对象: 定义 1-7
角: 定义 8-12
边界与图形: 定义 13-14
: 定义 15-18
三角及多边形: 定义 19-22
平行线: 定义 23

✪ 随着数学理论的发展，某些定义在当代数学中已经有所修正或扩展。笔者水平有限，所译内容有更精确的方法，欢迎后台留言、批评指正。

点、线、面：基本几何元素的定义

定义 1：点

A point is that which has no part.

点是没有部分的。

点是没有大小、形状或任何内在结构的基本几何对象，只用来表示空间中的一个精确位置。

定义 2：线

A line is breadthless length.
线只有长度，没有宽度。

线是一种只有长度而无宽度或厚度的一维对象。虽然欧几里得所描述的“线”通常指的有限线段（有端点，见下文定义 3）——包含直线和曲线，但在现代数学中，是将“直线”视为在两端无限延伸的理想化对象。

定义 3：线的端点

The extremities of a line are points.
线的两端为点。

根据欧几里得的定义 2 和 3，《几何原本》中的“线”是具有长度的，并且有端点。这意味着欧几里得的“线”并不是无限延伸的，而是由两个端点界定的，即现代所说的线段。

定义 4：直线

A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.
直线是一条在自身上的点均匀分布的线。

这表明直线是「线」的一种特殊形式，具有完全笔直的性质。

定义 5：面

A surface is that which has length and breadth only.
面只有长度和宽度。

面是只有长度和宽度，没有厚度的二维几何对象。欧几里得的「面」概念可以看作是现代几何中的二维空间或曲面，而在下面定义7中的「平面」则特指那些平坦且无限延伸的二维表面。

定义 6：面的边界

The extremities of a surface are lines.
面的边界是线，线将面围成一个区域。

定义 7：平面

A plane surface is a surface which lies evenly with the straight lines on itself.
平面是其上直线均匀分布的面。

角与角度的定义

定义 8：平面角

A plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.
平面角是两条在同一平面上相交但不共线的线之间的倾斜度。

定义 9：直线角

And when the lines containing the angle are straight, the angle is called rectilineal.
当包含角的两条线都是直线时，这个角叫直线角。

定义 10：直角与垂直

When a straight line set up on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right, and the straight line standing on the other is called a perpendicular to that on which it stands.
当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个都是直角，而且称直线彼此垂直。

定义 11：钝角

An obtuse angle is an angle greater than a right angle.
大于直角的角叫钝角。

现代定义中，钝角的度数介于90°与180°之间。

定义 12：锐角

An acute angle is an angle less than a right angle.
小于直角的角叫锐角。

现代定义中，锐角的度数介于0°与90°之间。

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定义 13：边界

A boundary is that which is an extremity of anything.
边界是物体的边缘。

定义 14：图形

A figure is that which is contained by any boundary or boundaries.
一个图形是由一个边界或几个边界所围成的。

在欧几里得的几何中，图形主要指二维的几何形状，如三角形、四边形、圆等。但从定义上，它也适用于三维图形，如立方体、球等。

圆与相关概念

定义 15：圆

A circle is a plane figure contained by one line such that all the straight lines falling upon it from one point among those lying within the figure are equal to one another;
圆是一个平面图形，由一条闭合曲线（圆周）围成，圆周上的所有点到圆内一个特殊点的距离相等。

定义 16：圆心

And the point is called the centre of the circle.
该点称为圆心。

定义 17：直径

A diameter of the circle is any straight line drawn through the centre and terminated in both directions by the circumference of the circle, and such a straight line also bisects the circle.

圆的直径是通过圆心且两端在圆周上的线段，它是圆中最长的线段，并且将圆分成两个相等的部分。

定义 18：半圆

A semicircle is the figure contained by the diameter and the circumference cut off by it. And the centre of the semicircle is the same as that of the circle.
半圆是直径和由它截得的圆弧所围成的图形，且半圆的心和圆心相同。

三角形及多边形

定义 19：直线图形（即多边形）

Rectilineal figures are those which are contained by straight lines, trilateral figures being those contained by three, quadrilateral those contained by four, and multilateral those contained by more than four straight lines.
直线图形是由直线围成的，三边形是由一条直线围成的，四边形是由四条直线围成的，多边形是由四条以上直线围成的。

定义 20：三角形根据边长分类

Of trilateral figures, an equilateral triangle is that which has its three sides equal, an isosceles triangle that which has two of its sides alone equal, and a scalene triangle that which has its three sides unequal.
在三边形中，三条边相等的，叫做等边三角形；只有两条边相等的，叫做等腰三角形；各边不等的，叫做不等边三角形。

定义 21：三角形根据角度分类

Further, of trilateral figures, a right-angled triangle is that which has a right angle, an obtuse-angled triangle that which has an obtuse angle, and an acute-angled triangle that which has its three angles acute.
此外，在三边形中，有一个角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形:有三个角是锐角的，叫做锐角三角形。

定义 22：四边形的分类

Of quadrilateral figures, a square is that which is both equilateral and right-angled; an oblong that which is right-angled but not equilateral; a rhombus that which is equilateral but not right-angled; and a rhomboid that which has its opposite sides and angles equal to one another but is neither equilateral nor right-angled. And let quadrilaterals other than these be called trapezia.
在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形；角是直角，但四边不全相等的，叫做长方形；四边相等，但角不是直角的，叫做菱形；对角相等且对边也相等，但边不全相等且非直角的，叫做长菱形；其余的四边形叫做不规则四边形。

平行线的定义

定义 23：平行线

Parallel straight lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction.
平行直线指位于同一平面内、在两个方向上无限延伸而永不相交的直线。