数学悖论系列之九（数学物理学悖论)——上（背景【前沿】知识）

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数学悖论系列之九（数学物理学悖论)——上（背景【前沿】知识）

九、数学物理学悖论（Paradox of mathematical physics)

对于物理学家来说，数学是用来回答问题的工具。例如，牛顿发明了微积分来帮助描述运动。对于数学家来说，物理学可以成为灵感的源泉，广义相对论和量子论等理论概念为数学家开发新工具提供动力。

数学物理学家将数学应用于物理问题，并开发适合物理理论表述的数学方法。但从数学的角度探索时空和人类理解的局限性就有可能存在悖论。因为数学提供了时空理论的语言，但又被理解为在空间和时间本身之外。因此，几何学是关于空间的科学，但其本身却超越了空间。

数学物理的悖论对现实世界有影响，并使一个关于物质的基本问题从根本上无法回答。比如黑洞信息悖论，从定义上看似乎是不可能的，它一直是物理学家们争论的话题。数学核心的悖论使得物理问题无法解答——哥德尔不完备定理与量子物理学中不可解的计算有关。

现代物理学建立在两个支柱之上：数学建模和经验验证。这两个假设是科学话语客观性的先决条件。然而，有时它们是矛盾的，导致了“实验悖论”。我们发现，在物理系统上进行的任何实验都必然是侵入性的，因此对任何数学模型的准确性都不可避免地造成限制。

实验悖论的三个方面：量子力学中的测量悖论——量子力学测量过程的不确定性；准备悖论——无论理论是否表明测量（即信息获取）是否会干扰系统，准备过程始终是侵入性的；宇宙学悖论——现代宇宙学模型是在场论的框架内制定的，但场本身并不演化——场方程的解指定了整个时空中的场内容——任何来自“外部”的干扰都会导致全球性的变化。

本文探讨三个著名的数学物理学悖论：埃伦费斯特悖论（The Ehrenfest paradox）、黑洞信息悖论（Black hole information paradox）和时间旅行悖论（Time travel paradox）。

（一）背景(前沿)知识

1.相对论简述

（1）狭义相对论简述

①事件

描述物体的运动需要选择参考系，并在参考系中建立坐标系。选择不同的参考系，对同一事件的描述是不同的。即：

绝对时空观→相对论时空观(图95)。

图 95

②洛伦兹变换

狭义相对论的基本假设：光速不变假设——在所有的惯性系中测量到的真空光速恒为c,与光源或观察者的运动无关，c=2.99792458×108m·s-1；相对性原理——物理规律（包括力学规律）在一切惯性参考系中都具有相同的形式，即对物理规律来说，一切惯性系都是

平等的——物理定律在所有惯性系中具有数学形式不变性，即协变性。

伽里略变换与光速不变性假设不相符；狭义相对论的基本假设否定了绝对空间的存在。

洛伦兹变换(图96)变换基于下列两点：时空是均匀的，因此惯性系间的时空变换应该是线性的；新变换在低速下应能退化成伽利略变换。

图 96

③相对论的时空观

同时的相对性：在S′系不同空间点同时发生的两事件，在S系测量则不是同时；

反之亦然，这就是同时的相对性。

时序的相对性与因果性：有因果联系的事件不会发生时序的颠倒。

时间间隔的相对性：时间延缓(图97)。

图 97

长度的相对性：物体沿运动方向的长度比其固有长度短，这种效应叫做洛仑兹收缩，或尺缩效应(图98)。(注意：与运动垂直方向上的长度不变。)

图 98

④相对论力学

在相对论中，动力学的一系列物理概念和规律都面临着重新定义的问题。重新定义新物理量的原则是：

满足爱因斯坦相对性原理：粒子或粒子系统的动力学方程必须在洛伦兹变换下形式不变。

对应原则的限制：即v≪ c 时，新定义的物理量必须趋于经典物理学中对应的物理量。

尽量保持基本守恒定律继续成立。

在相对论中，质量与时间、长度一样，与惯性系的选择有关(图99)。

图 99

其他相对论力学见图100。

图 100

（2）广义相对论简述

当我们提到“相对论”时，我们实际上指的是广义相对论。狭义相对论是广义相对论的“特例”。这两个原理的结合有助于解释许多主题，从行星的运动、引力对光的影响到黑洞的存在。

狭义相对论指出，对于所有同样“快”的观察者来说，物理定律以及宇宙都是相同的。在太空真空中，光速是一个常数，与任何观察者无关。

但是加速度和引力呢？爱因斯坦花了十年的时间思考这个问题。 1915年，他成功提出了广义相对论。他确定太空中的巨大物体会导致时空扭曲，我们都“感觉”为引力。

爱因斯坦解释说，两个物体的相对运动应该是参考系。举例来说，假设你是一艘宇宙飞船中的宇航员，正在远处观察另一艘宇宙飞船。唯一重要的是你和你观察到的目标相对于彼此移动的速度有多快。

然而，有一个障碍，狭义相对论仅适用于沿直线行驶且不加速的情况。如果发生加速，则需要应用广义相对论。

该理论基于两个基本原则：相对论——物理定律不会改变，即使对于以惯性、恒速参考系移动的物体也是如此；光速——对于所有观察者来说都是相同的，无论他们与光源的相对运动如何。

爱因斯坦的工作在时间和空间之间建立了基本的联系。我们直观地将宇宙想象为三维的（上和下、左和右、向前和向后），但也具有时间分量或维度。这些的结合构成了我们体验的 4D 环境。

如果你在太空中移动得足够快，那么你对空间和时间所做的任何观察都会不同于以与你不同的速度移动的其他人。随着速度差异的增加，观察到的差异也会增加。显然，时间的流逝对于你和外部观察者来说一定是不同的。与较慢的观察者相比，时间对你来说一定“移动”得更快。

广义相对论是爱因斯坦对引力的几何解释，根据它，引力被时空曲率代替。如今，广义相对论被广泛认为是对引力场物理学的最佳描述，改进了牛顿的引力理论。它已在无数实验中得到成功测试，其中包括水星近日点自转、太阳光线偏转和引力透镜、引力辐射、黑洞、大爆炸、宇宙常数、宇宙膨胀、宇宙微波背景辐射（CMBR）和引力红移只是该理论最引人注目的预测。

（3）广义相对论前沿简述

在广义相对论的一些前沿领域，数学家、物理学家在从寻找量子引力理论到理论允许的奇特几何可能性探索中，让我们看到广义相对论与量子力学的统一仍然是理论物理学中最深刻的未解决问题之一。弦理论和圈量子引力提供了有希望但不完整的方法。我们还看到广义相对论允许虫洞、时空机器和其他推动物理可能性的时空结构。

展望未来，科学家们概述了一些未解决的重要问题和未来研究的领域，从暗物质和暗能量的性质到早期宇宙和黑洞的物理。回答这些问题将需要理论进展、计算模拟和来自电磁波谱和引力波到粒子碰撞的新观测数据的结合。

随着数学家、物理学家继续测试和探索广义相对论的含义，可以期待爱因斯坦的杰出理论将继续引导科学家寻求揭开宇宙最深奥秘的终极目标。广义相对论已经彻底改变了我们对空间、时间和引力的理解，它无疑将继续在几代人中塑造我们对宇宙的认知：我们可以期待理论的新测试、新应用和新的扩展——从量子引力的最小尺度到宇宙的最大尺度。

（4）广义相对论经典测试简述

爱因斯坦在1915年发表了他的广义相对论后不久，他提出了三个可能证实或否定该理论的观测测试。这些测试后来被称为广义相对论的“经典测试”。它们是：水星的近日点进动、太阳引力弯曲星光和光的引力红移。

①水星的近日点进动

水星围绕太阳的轨道非常椭圆，每个轨道它的最靠近太阳的点（近日点）都会进动一个小角度。根据牛顿引力理论，这个进动完全可以由其他行星的引力牵引解释。然而，19世纪末的精确观测表明，水星的近日点进动存在一个小的偏差：比牛顿理论预测的多出大约43角秒每个世纪。这个异常已经困扰了天文学家几十年。根据广义相对论，在太阳周围的时空弯曲引起了水星轨道每个世纪额外进动43角秒，与观测完全一致。

这对于爱因斯坦的理论来说是一个重大的胜利。它解释了一个长期以来的谜团，并为时空弯曲的存在提供了有力的证据。如今，水星的近日点进动被视为广义相对论的关键观测支柱之一。

②太阳引力弯曲星光

广义相对论的另一个预测是光线应该被引力场弯曲。根据这个理论，一束经过太阳附近的星光应该被弯曲一个小角度，其弯曲程度是牛顿引力预测的两倍——爱因斯坦意识到，在日全食期间，可以测试这种效应。

对这种效应的第一次测量是在1919年的日全食期间进行的，由英国天文学家亚瑟·埃丁顿领导的两个探险队。一个队伍前往非洲科特迪瓦附近的普林西比岛，而另一个队伍则去了巴西的索布拉尔。尽管天气和设备带来了挑战，但两个队成功地拍摄了日全食并测量了星星的位置。当结果经过分析后，它们显示星光确实被太阳弯曲，弯曲程度与爱因斯坦的预测非常接近。

自1919年以来，光的弯曲测试已经通过无线电望远镜和光学望远镜多次使用不断提高的精确度进行了重复测试。截至目前，利用非常长基线干涉仪（VLBI）进行的最精确的测量证实了广义相对论的极限精度达到了0.02%。

③光的引力红移

广义相对论的第三个经典测试涉及光的引力红移。根据广义相对论，一个在引力场中发射的光线在爬出势阱时会发生红移（即其波长会增加）。引力场越强，红移越大。

爱因斯坦提出，可以使用来自太阳的谱线来测量这种引力红移。太阳大气中原子发射的光应与地球上实验室中产生的相同谱线相比略微发生红移，这是由于太阳强烈的引力场造成的。

1925年，瓦尔特·亚当斯利用位于威尔逊山天文台的100英寸望远镜上的光谱仪进行了第一次成功的测量。亚当斯发现的引力红移与爱因斯坦的预测一致，尽管具有相当大的不确定性。

在1960年代，罗伯特·庞德和格伦·雷布卡在哈佛大学的一个22米高的塔上测量了向上和向下传播的伽玛射线的红移，确认了广义相对论的极限精度达到了1%。后来，使用火箭搭载的氢质子钟进行的实验证实了红移的极限精度在1/10^5的范围内。

引力红移不仅是对广义相对论的重要测试，也是GPS卫星的一个实际问题，因为GPS卫星由于地球引力的作用而经历了显著的红移。如果不纠正这种效应，GPS导航每天会偏移几公里。

（5）广义相对论现代测试简述

尽管三个经典测试为广义相对论提供了第一批强有力的证据，但在爱因斯坦的理论出版一个世纪以来，已经设计出并进行了许多更多的测试。这些现代测试在新的和极端的范围内探测了广义相对论，并利用了在爱因斯坦时代无法想象的先进技术。

①引力透镜

广义相对论最引人注目的预测之一就是引力透镜现象。就像玻璃透镜弯曲通过它的光线一样，一个庞大的物体（如星系或星系团）可以弯曲背景光源的路径，充当“引力透镜”。

引力透镜现象有三个主要的区域：

强透镜现象：当透镜足够大且足够对齐时，会产生多个图像、弧线或环状的背景光源。第一个强透镜是在1979年发现的，它是由一颗前景星系引力透镜形成的实际上是同一颗类星体的两个镜像。现在已经发现了数百个强透镜，并且它们提供了一种方法来绘制暗物质的分布并测试千秒尺度上的广义相对论。

弱透镜现象：这是一种更微妙的效应，当透镜质量不足以产生多个图像时，但仍然扭曲了背景星系的形状。通过在天空大范围区域内对这些形状扭曲进行统计分析，天文学家可以绘制宇宙的大尺度结构并测试宇宙尺度上的广义相对论。

微透镜现象：当一个紧凑天体（如恒星或行星）经过背景恒星前方时，由于透镜效应导致后者暂时变亮。微透镜现象已被用于发现系外行星以及探测我们星系中的黑洞和其他暗物体的群体。它还为恒星尺度上的广义相对论提供了测试。

引力透镜现象为迄今为止的广义相对论提供了一些最令人惊叹的证实。观测到的透镜系统的数量、分布和性质与广义相对论的预测非常吻合，并对替代引力理论提出了严格的限制。

②引力波

近年来，在测试广义相对论方面最令人激动的发展可能是对引力波的直接探测。这些是在时空结构中产生的涟漪，由加速的物质产生并以光速向外传播。爱因斯坦在1916年预言了引力波的存在，但他怀疑它们会因其极小的振幅而永远无法被探测到。

一个世纪后，激光干涉引力波天文台（LIGO）成功测量了通过引力波产生的微小时空扭曲。第一次探测是在2015年9月进行的，来自大约13亿光年外两个黑洞的合并。观测到的波形与广义相对论的预测非常吻合，精度达到几个百分点，为理论在强场、高速环境中的确认提供了惊人的证实。

此后，LIGO及其欧洲对应项Virgo已经探测到数十次引力波事件。这些事件包括二元黑洞的合并、二元中子星的合并，甚至可能是中子星-黑洞的合并。每个事件都为极端条件下的广义相对论提供了新的测试，迄今为止，该理论表现出色。

引力波天文学为我们打开了一个全新的窗口，使我们能够探测到对电磁辐射不可见的区域和事件。它还为迄今为止最严格的广义相对论测试提供了一些证据，确认了黑洞的存在、引力波以光速传播等关键预测。

③黑洞的观测证据

黑洞可能是广义相对论最极端和最神秘的预测。这些是时空区域，其曲率变得如此强大，以至于任何东西，甚至光，都无法逃离事件视界内。黑洞是爱因斯坦方程的直接结果，但多年来它们被视为数学上的奇特之物而非现实存在。

事件视界望远镜：

2019年，事件视界望远镜合作组织发布了第一张黑洞的直接图像。通过将全球的射电望远镜连接在一起形成一个地球大小的虚拟望远镜，他们能够解析出银河系M87中心的超大质量黑洞的事件视界。黑洞影子的观测尺寸和形状与广义相对论的预测相匹配，提供了对该理论的惊人视觉确认。

黑洞的观测证据现在非常强大，以至于它们的存在被视为几乎确定的事实。它们提供了对广义相对论最极端的测试，探测理论在强曲率和高速区域的效果。到目前为止，广义相对论在所有这些测试中都通过了，进一步巩固了它作为我们关于引力的最佳理论的地位。

2.量子理论(量子场论)简述

（1）基础知识

在量子力学中，似乎粒子既是微粒又是波。这不是量子物理唯一的怪癖，其他的(量子叠加、量子纠缠甚至非定域性)都源于这一个。

一个粒子的状态描述了所有的信息(速度、角动量、位置、能量等)，如果我们对它进行实验测量，就可以得到它。

相对简单的基础知识见图101。

图 101

（2）薛定谔方程简述

①薛定谔的猫

一些量子事件的发生仅仅是因为它们被观测到了，如果没有人看到它们，它们就不会存在。这正是“薛定谔的猫”经历的意义所在。

1935年，埃尔温·薛定谔(1887-1961)想象了一个思维实验，实验对象是一只关在盒子里的真实世界的猫。在这个盒子里，一个装置一旦检测到量子世界的放射性同位素的分裂，就会杀死动物。在量子世界中，放射性原子可以以两种叠加的状态存在，例如完整的和解体的。

量子力学认为，只要不进行观察，原子就会同时处于两种状态，例如完整和解体。但是恶魔机制将猫的状态与放射性粒子的状态联系起来。换句话说，在盒子被打开之前，猫同时是死的和活的。由于观察触发了两种状态之间的选择，所以绝对不可能说猫是死还是活——在打开盒子之前。

②薛定谔方程简述

薛定谔方程(图102)已经经受住了迄今为止的每一个实验的考验。“这是量子力学中最基本的方程，”布瓦塔说，“这是我们想要描述的所有量子力学系统（如：电子、质子、中子等系统）的出发点。”这个方程早期成功地描述了氢原子的离散能谱，促成了量子力学的建立，这也是薛定谔的动因之一。由于无数成功实验的支持，薛定谔方程在量子力学中已成为牛顿第二定律的类似物和替代品。

图 102

（3）量子场论简述

①量子引力(Quantum Gravity)

根据我们目前的知识，物理学的基础取决于两个指导原则:广义相对论(GR)和量子理论(QT)。GR是爱因斯坦的引力理论，而QT是量子场论(QFT)的基石，是基本粒子物理学的基础框架。QFT描述了所有已知的物质相互作用，即电磁力、弱力和强力以及所有基本粒子，即费米子(带电轻子如电子，中性轻子如电子中微子，夸克如构成中子和质子的上下夸克)和玻色子(光子、W玻色子和Z玻色子以及胶子)。这些粒子一起嵌入到所有物质的标准模型中。今天唯一没有被QT描述的相互作用是引力相互作用。

量子理论与经典理论相反。原则上，经典理论的预测精度是无限的。粗略地说，这意味着如果我们知道经典点粒子在给定时刻的位置和速度，原则上我们就可以准确计算其轨迹。在量子理论中这是不可能的，由于著名的海森堡不确定性障碍，原则上没有办法精确计算量子点粒子的轨迹：排除了知道粒子在任意时刻的位置和速度的可能性精确。量子理论是一种不确定论，也就是说，概率理论，只有在海森堡不确定性障碍允许的误差范围内测量了粒子的初始数据后，才允许计算粒子旁边发生的情况的概率。

引力不能从根本上成为经典理论的第一个原因是几何学和物质是相互耦合的。这就是爱因斯坦方程的内容，该方程强制规定，无论何时何地，只要有任意数量的物质能量密度，时空都会弯曲。相应方程的左侧有一个纯几何表达式（从黎曼张量导出的爱因斯坦张量），右侧有一个由物质和几何场构建的混合表达式（能量动量张量）。所有实验都证实右手边必须被量化，它成为合适的希尔伯特空间上的算子（值分布）。如果几何保持经典，那么我们会得到一个矛盾：右手边是一个运算符，左边是实数（在每个时空点）。用经典几何理论理解这一点的唯一方法是获取右侧的期望值。第一个问题是对于希尔伯特空间中的哪个向量应该取该期望值。

经典广义相对论预言，任何数量的物质，即使距离很远，也往往会聚集成块。如此多的物质被压缩到如此小的体积中，那么没有任何未被发现的力可以阻止其完全引力塌缩成一个点！原因在于因果关系：时空的曲率变得如此极端，以至于在史瓦西半径内任何光束都会射入中心。由于任何遵循因果关系的相互作用都基于信号传播速度不能超过光速的规则，因此任何力无论多强都无法将恒星表面推出史瓦西半径。一切都崩溃成一个点，即所谓的奇点。时空曲率和物质能量密度在这里变得无穷大。

量子引力是一个尝试将广义相对论与量子力学结合起来描述引力相互作用的理论。历史上，构建量子引力是一场经过了爱因斯坦本人，还有费曼、惠勒、彭罗斯与霍金等巨匠的接力赛，至今依然没有成功。

引力系统天生就是一个具有约束的物理系统，其中一个约束叫微分同胚约束，另一个叫哈密顿约束。这两种约束给引力量子化带来了巨大的困难，其中的微分同胚约束使得人们很难在非微扰层面找到引力的物理量子态和可观察量，而哈密顿约束使得人们很难谈系统的动力学或者说随时间的演化，也就是量子引力中著名的时间问题。

概念上的困难基本上源于引力相互作用的本质，特别是引力质量和惯性质量的等效性，这使得人们可以将引力描述为时空本身的一种属性，而不是在(被动)时空背景中传播的场。当人们试图量子化引力时，时空的某些特性就会受到量子涨落的影响。

所有解决量子引力问题的方法都一致认为，必须对引力与量子化物质之间的关系进行说明。一些方法认为广义相对论需要修正，而量子场论具有普遍适用性；而另一些方法则认为量子场论有问题，而广义相对论具有更普遍的地位。还有一些人以更加公正的方式看待这些理论，也许两者都只是更深层次理论的明显限制。

两种最流行的方法仍然是弦理论和圈量子引力。

②弦理论和圈量子引力

弦理论是目前唯一能量子化引力、统一物质和相互作用的理论。在弦理论中，自然界的基本粒子都是尺度非常小的弦的不同振动模式，比如传递电弱、强相互作用的规范粒子是开弦的振动模，而传递引力相互作用的引力子是闭弦的振动模。因此，在弦理论中实现了四种相互作用的统一。如果考虑两根开弦，首尾相接就可以形成闭弦。这个直观的图像暗示着规范场论与引力理论间存在着某种关系。这种关系经过弦理论学家长期的研究，得到了精确化。

弦理论受到缺乏可实验测试的预测的困扰，因为理论中存在大量不同的基态或真空态，并且缺乏挑选出物理上重要的态（包括我们自己的态）的指导原则。尽管弦理论界以理论中自由参数的缺乏而自豪（与粒子物理标准模型中发现的大约十九个自由参数相比），但这个问题可以说在与不同紧致化相关的大量真空中重新浮现出来。九个空间维度与我们观察到的三个空间维度之比。这些真空要么被视为不同的弦理论，或者作为同一个理论的解决方案（尽管是一些更深层次的、未知的理论）。

圈量子引力，其目标只是提供引力相互作用简化的量子理论。其他领域也有重要的工作，包括根本不涉及理论量化的方法。圈量子引力似乎较少受到缺乏预测的困扰，事实上，人们经常声称面积和体积算子的离散性是该理论的具体预测，具有潜在的可测试的结果。这种方法的支持者认为，这使得该理论更容易被证伪，从而更科学。

然而，在实践中，甚至在原则上，人们如何真正观察到这些数量仍然很不清楚。最近有人建议，为了探究普朗克尺度（离散性，特别是最小长度）的影响，我们需要在宇宙学层面上寻找对洛伦兹不变性的微小违反。但也有人认为，最小长度的存在并不意味着违反洛伦兹对称性——他们的论点基于这样一个事实：在量子理论的背景下，对称性作用于状态（等平均值）而不是特征值（代表理论中的离散量）。

迄今为止，这两个主要研究项目由于没有量子引力方面的实验，也没有什么可以作为直接或间接数据或经验证据的观察结果。这部分源于缺乏理论预测，因为如果不知道该看哪里或看什么，就很难设计理论的观察检验：都没有被证明能够正确再现我们在低能量下看到的世界。但这也源于这样一个事实：大多数量子引力理论似乎只在能量尺度上预测偏离经典相对论。

事实上，圈量子引力的一个主要挑战是证明它确实具有广义相对论作为低能极限；弦理论的一个主要挑战是证明它具有粒子物理的标准模型加上广义相对论作为低能极限。

时间的处理在规范量子引力中提出了特殊的困难，尽管它们很容易推广到许多其他量子引力方法。这些困难与时间在物理学，特别是量子理论中所扮演的特殊角色有关。一般来说，物理定律是运动定律，即从一个时间到另一个时间的变化定律。它们以微分方程的形式表示经典态或量子态演化（视情况而定）的变化；状态代表系统在某个时刻的状态。

③量子场论

量子场论（Quantum Field Theory, QFT）在平直时空中得到了广泛应用，描述了基本粒子的相互作用。然而，当引入引力效应，尤其是弯曲时空的背景下，量子场论的描述变得更加复杂。弯曲时空中的量子场论（QFT in curved spacetime）试图在广义相对论的框架下，描述量子场如何与时空的几何结构互动。

在物理学的标准模型中，量子场论通常被构建在平直的时空背景上，即通常所说的“闵可夫斯基时空”。这种时空几何简单且易于分析。然而，实际宇宙并非完全平直，引力的存在导致时空弯曲，这一点由爱因斯坦的广义相对论揭示。面对这些引力效应，我们需要考虑弯曲时空中的量子场如何行为，这就涉及到了弯曲时空中的量子场论。这个领域不仅对理解黑洞等极端天体物理现象至关重要，还为理解早期宇宙和量子引力提供了新途径。

在弯曲时空中，我们必须考虑：多种真空态——与平直时空不同，弯曲时空中真空态不再唯一——不同的观察者可以定义不同的真空，尤其是在动态时空背景中，例如膨胀的宇宙或黑洞附近；因果结构的变化——弯曲时空中的因果结构与平直时空不同，影响了量子场的传播性质(例如，视界效应在黑洞和宇宙学中尤为重要)；粒子创造与消失——由于时空的曲率，量子场中可能会出现粒子的自发创造与消失(例如，霍金辐射便是这种效应的一个经典例子)。

只有数学才能解开的物理学核心之谜：在过去的一个世纪里，量子场论已被证明是有史以来发明的最全面和最成功的物理理论。它是一个总括性术语，包含许多特定的量子场论——“形状”涵盖正方形和圆形等特定示例的方式。这些理论中最突出的被称为标准模型，正是这个物理学框架取得了如此成功。“它可以从根本上解释我们做过的每一个实验。”英国剑桥大学的物理学家戴维·汤说。

但量子场论无疑是不完整的，物理学家和数学家都不知道是什么让量子场论成为量子场论，尽管他们已经瞥见了全貌——但还无法弄清楚。美国普林斯顿高等研究院的物理学家 Nathan Seiberg说：“感觉就像是你可以从很多地方触摸到的动物，但你并不能完全看到整个动物。”

如果数学能够学会如何以与描述成熟数学对象相同的严谨性来描述量子场论，那么更完整的物理世界图景可能会随之而来：如果真的以适当的数学方式理解量子场论，这将为我们提供许多开放物理问题的答案，甚至可能包括引力的量子化。

当你在空间和时间的每个点观察量子现象（例如电子的能量）时，就会产生量子场。但量子场与经典场有着根本的不同。虽然地球上某个点的温度就是它是什么——无论你是否测量它，但电子在你观察到它们的那一刻之前都没有确定的位置。在此之前，它们的位置只能通过概率来描述，方法是为量子场中的每个点分配值，以捕获你在那里找到电子而不是其他地方的可能性。在观测之前，电子基本上无处不在。

量子场论带有一组称为相关函数的规则，用于解释场中一个点的测量值如何与另一个点的测量值相关或关联。每个量子场论都以特定数量的维度描述物理学：二维量子场论通常可用于描述材料（如绝缘体）的行为；六维量子场论与弦理论特别相关；而四维量子场论描述了我们实际的四维宇宙中的物理学。

构成宇宙的已知基本粒子有 12 种，每个都有自己独特的量子场。当你在某个点测量量子场时，结果不是坐标和温度等几个数字。相反，它是一个大矩阵，称为运算符，具有无限多的列和行：一个粒子可以有无限多的位置，这导致描述位置和动量测量的矩阵也必须是无限维的。

当理论产生无穷大时，它使它们的物理相关性受到质疑，因为无限是作为一个概念存在的，而不是作为任何实验可以测量的东西存在的。它还使理论难以用数学方法处理。当物理学家开始思考两个量子场如何相互作用时，无穷大的问题就会变得更糟。

物理学家和数学家无法使用无穷大进行计算，但他们已经开发出了解决方法——近似量的方法，从而回避了这个问题。这些解决方法会产生近似预测，这已经足够好了，因为实验也不是无限精确的。

另一种近似方案试图通过其他方式偷偷摸摸地使用成熟的量子场论。理论上，量子场包含无限细粒度的信息。为了构建这些场，物理学家从网格或晶格开始，并将测量限制在晶格线相互交叉的地方。因此，你不能在所有地方测量量子场，而起初你只能在相距固定距离的选定位置测量它。

从那里，物理学家提高晶格的分辨率，使线靠得更近，从而产生越来越精细的组织。随着它的收紧，你可以进行测量的点数增加，接近你可以在任何地方进行测量的理想化概念：点之间的距离变得非常小，这样的事情就变成了一个连续的场——用数学术语来说，连续量子场是紧缩晶格的极限。

“量子场论几乎是物理现象的通用语言，但它的数学状况很糟糕”，对于一些物理学家来说，这就是停下来的原因——如果满屋子都建立在这个本身无法以数学方式理解的核心概念上，你为什么如此自信这是在描述世界呢？

在基本层面上，物理现象与几何学有着密切的关系。举个简单的例子，如果你让一个球在光滑的表面上运动，它的轨迹将照亮任意两点之间的最短路径，这一属性称为测地线。通过这种方式，物理现象可以检测形状的几何特征。

现在用电子替换台球。电子在表面上的任何地方都存在。通过研究捕获这些概率的量子场，你可以了解该表面（或流形，用数学家的术语来说）的整体性质，比如它有多少个空穴。这是研究几何学和拓扑学相关领域的数学家想要回答的一个基本问题。

如果数学可以确定量子场论的全部可能性空间——满足涉及相关函数的一般定义的所有不同可能性——物理学家就可以利用它来找到解释他们最关心的重要物理问题的特定理论。定义所有量子场论共有的特征性质几乎肯定需要合并数学的两个支柱：分析——它解释了如何控制无穷大，以及几何——它提供了一种谈论对称性的语言。